Descripción de Fractales.

FRACTALES

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.  El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Fractales naturales son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con auto-similitud estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su auto-similitud  se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).

Conjunto de Mandelbrot es un fractal auto-similar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.

Paisajes fractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.

Fractales de pinturas, se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes,  montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Fractales del tipo Mandelbrot:

Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

Sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial, a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. En 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.

La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, repetidos una y otra vez, el concepto de longitud no está claramente definido. Por más que queramos medir una línea fractal siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la sensibilidad de los instrumentos que utilicemos, por precisos que sean  Así, como la longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento con que la midamos, no nos sirve la noción tradicional de longitud. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal.

Puede parecer que los fractales son meras curiosidades matemáticas sin ninguna utilidad. Sin embargo son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos. Comunicaciones: Modelado del tráfico en redes; Robótica: Robots Fractales; Infografía: Paisajes fractales; Biología: Crecimiento tejidos, organización celular Evolución de poblaciones Depredador-presa; Matemáticas: Convergencia de métodos numéricos; Música: Composición musical; Física: Transiciones de fase en magnetismo; Química: Agregación por difusión limitada.

Números Imaginarios.

Propiedades de los Números Imaginarios.

Para la suma, encontramos que:

La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.

También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.

Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número.

Mientras que para la multiplicación o producto encontramos que:

El producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que al multiplicar números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro.

En este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que si se altera el orden de los números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.

También posee una propiedad distributiva.Y por cada número imaginario también existe un inverso multiplicativo cuyo resultado del producto de ambos, es igual a 1.

Diferencia de Propiedades.

Diferencia entre las propiedades de los Números Reales y los Números Racionales.

Se explicara a continuación:

Un número real se refiere a cualquier número que puede encontrarse en una recta numérica. La recta numérica puede definirse como una línea geométrica donde se traza un punto de origen. Los puntos que se encuentran en el lado derecho del origen son considerados como números positivos, mientras que los números en el lado izquierdo del origen se consideran negativos. El infinito no cae en la categoría de número real. La raíz cuadrada de -1 no es un número real, por lo tanto se le considera como un número imaginario

Diferencias clave entre número racional y número real:

■Los números reales pueden ser racionales o irracionales y pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.

■Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…

■Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16, que sería 4 y podría expresarse como 4/1. Las repeticiones de decimales son racionales, ejemplo: 0.777777.

Números Irracionales.

Propiedades de los Números Irracionales.

¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

El número más conocido de los números irracionales es el número Pi que es igual a 3.1416.

Diferencia de propiedades.

Diferencia entre las propiedades de los Números Enteros y los Números Racionales.

En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano.

Comúnmente conocido como fracción,  o número fraccionario es el que expresa 1 o más partes iguales de la unidad central. Según la cantidad en la que se divide la unidad, ésta va cambiando de nombre.  Ejemplo si está dividida en 2 se le llama medios, en 3 tercios, 4 cuartos, 5 quintos, 6 sextos, 7 séptimos, 8 octavos, 9 novenos,  etc…Sus términos la fracción está compuesta por 2 términos básicos, el numerador y el denominador. El numerador menciona en cuantas partes se ha dividido la unidad, mientras el denominador indica cuantas partes se toman de la unidad.

Diferencia de propiedades.

Diferencia entre las propiedades de los Números Naturales y los Números Enteros.

Todo número entero es natural, pero no todo número natural es entero, ya que los números naturales solo comprenden a los números positivos y el cero a diferencia de los números enteros que además de contar con los números positivos también cuentan con los números negativos de cada uno de ellos a excepción del cero.

Además en la operaciones de suma también hay diferencias por que al sumar 2+3, el resultado se encontrara fácilmente dentro del conjunto de los números naturales, ya que una de sus propiedades es que “la suma de dos números naturales, siempre dará como resultado otro número natural del conjunto”, por eso al intentar realizar la operación (-1)+(-2) no se podrá ya que estos números son negativos pero en los números enteros si se podrá llevar a cabo dando como resultado (-3).

Para saber cuándo un número es entero sólo debes tener en cuenta los siguientes puntos: Un entero no tiene decimales ni es una fracción. Es un número natural, aunque incluye los negativos

Ejemplos de  enteros:

, -2, -1, 0, 1, 2,  Números enteros.

...1.1, 2.5, 3.5, 1/2, 6/5... Números decimales (no enteros).

Números Naturales.

Propiedades de los números naturales.

1. Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.

2. El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto vacío, y por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:

a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b

b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.

Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:

a) Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural.

b) Existencia del elemento neutro: Un número natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número.

c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.

Sistemas de numeración no posicionales.

Numeración egipcia.

El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura jeroglíficos. A principios del tercer milenio a.c. los egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal (numeración de base 10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos.

En el Antiguo Egipto se podían representar las cifras con números o palabras (fonéticamente): como "30" o "treinta”. Sin embargo, no era muy común representarlos mediante sus nombres, con la excepción de los números uno y dos. 

Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario.

Las cifras egipcias tienen los siguientes nombres:

El sistema de numeración azteca contiene los siguientes elementos:

 Sistema de numeración Aditivo azteca

En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

Sistema de numeración multiplicativo azteca.

Se caracteriza por tener símbolos para la unidad, la base,  potencias y todos los números comprendidos entre la unidad y la base. Son de este tipo el babilónico y el maya. El sistema  de numeración azteca no tiene multiplicativo

Es de suma importancia conocer estos diferentes tipos de sistemas no posicionales ya que es conocer nuestra propia historia y tratar de entender un poco más la comprensión con a que se contaba en el México de esa época.

Sistema de Numeración Posicional.

SISTEMA DE NUMERACIÓN INDO-ARÁBIGOS.

Los números arábigos, también llamados números indo arábigos son los símbolos más utilizados para representar números. Se les llama "arábigos" porque los árabes los introdujeron en Europa aunque, en realidad, su invención surgió en la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración posicional, así como el descubrimiento del 0, llamado śūnya (shuunia) o bindu en lengua sánscrita, aunque los mayas también conocieron el 0. Los matemáticos persas de la India adoptaron el sistema, de quienes lo tomaron los árabes. Para el momento en que se empezaron a usar en el norte de África, ya tenían su forma actual, de allí fueron adoptados en Europa en la Edad Media. Su uso aumentó en todo el mundo debido a la colonización y comercio europeos.

El sistema "arábigo" se ha representado (y se representa) utilizando muchos conjuntos de glifos diferentes. Estos glifos pueden dividirse en dos grandes familias, los numerales arábigos occidentales y los orientales. Los orientales, que se desarrollaron en lo que actualmente se corresponde a Irak, se representan en la tabla que viene a continuación como Arábigo-Índico. El Arábigo-Índico oriental es una variedad de los glifos arábigo-índicos. Los numerales arábigos occidentales, desarrollados en Al-Ándalus y el Magreb se muestran en la tabla como europeo.

Europeo	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Arábigo-Índico	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Arábigo-Índico Oriental (Persa y Urdu)	۰	۱	۲	۳	۴	۵	۶	۷	۸	۹
Devanagari (Hindi)	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
Tamil		௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯

Se especula que el origen del sistema posicional base 10 utilizado en la India tuviera sus orígenes en China. El sistema chino Hua Ma es también posicional y de base 10 y pudo haber servido de inspiración para el sistema que surgió en la India. Esta hipótesis cobra fuerza por el hecho de que entre los siglos V y VIII (periodo durante el cual se desarrolló el sistema numérico indio) coincidió con una gran afluencia de peregrinos budistas entre China y la India. Lo que es cierto es que en la época de Bhaskara I (Siglo VII) en la India se utilizaba un sistema numeral posicional base 10 con 9 glifos, y se conocía el concepto del cero, representado por un punto.

Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Matemáticos musulmanes del actual Irak, como al-Jwarizmi, ya estaban familiarizados con la numeración babilónica, que utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero (aunque no tras dígitos distintos de cero), así que el nuevo sistema no tuvo un buen recibimiento. En el siglo X los matemáticos árabes incluyeron en su sistema de numeración las fracciones. al-Jwarizmi escribió el libro "Acerca de los cálculos con los números de la India" cerca del año 825 y Al-Kindi escribió "El uso de los números de la India" en cuatro volúmenes. Su trabajo fue muy importante en la difusión del sistema de la India en el Oriente Medio y en el occidente básicamente él lo expandió.

Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el Codex Vigilanus del año 976.[2] A partir de 980 Gerberto de Aurillac (más tarde papa con el nombre de Silvestre II, hizo uso de su oficio papal para difundir el conocimiento del sistema en Europa. Fibonacci, un matemático italiano que había estudiado en Bugía (en la actual Argelia), contribuyó a la difusión por Europa del sistema arábigo con su libro “Liber Abaci”, publicado en 1202.

Actividad 2

resultado de operaciones del ejercicio 1

ejercicio 1

Ensayo de 300 palabras. lo que yo considero sobre esta pregunta es que muchas veces los alumnos por querer pasar una materia en este caso Álgebra la aprenden pero solo por un tiempo ya que después no la practican, así como cualquier idioma si no se practica diario no mejoraría o se le olvidarían algunas cosas como la pronunciación o su escritura. Es igual con el álgebra, un ejemplo, un alumno tiene esta asignatura el primer semestre de preparatoria, lo aprende y sabe cómo resolver problemas, pasa sus exámenes bien y todo, después en el siguiente semestre ve otra asignatura pero en esta ya no lleva tanto álgebra así que el alumno olvida varios puntos y aprende otros de la nueva materia y así sucesivamente. Por eso el día que se le presenta nuevamente esta disciplina ya no recuerda muchas cosas y pide al profesor que le explique nuevamente, pero en sí algunos alumnos si saben pero no recuerdan cómo resolver los problemas que se le dicen. Otra cuestión podría ser que la materia no les gusta tanto y no ponen atención, aunque ya la hayan llevado mucho tiempo no importa ya que puede que el alumno para pasar sus exámenes se la haya pasado copiando a sus compañeros y pues a éste no se le “pego” nada y después pide que le expliquen porque ya en la universidad es otro nivel y quizá no sea tan fácil copiar. En fin creo que el alumno insiste tanto en que se le siga explicando porque no está seguro de que como él cree que es el procedimiento sea el correcto por eso pide una explicación para estar seguro de lo que creía. Este problema es de todos pero alumno, padres de familia. maestros y autoridades, pero el mayor afectado es el alumno así que hay que erradicar este mal de una manera rápida para un éxito inmediato

LEY DE TITIUS-BODE Si bien las teorías científicas y las leyes científicas están basadas en hipótesis, una teoría es la explicación de un fenómeno observado, mientras que una ley científica es la descripción de un fenómeno observado. Es del objeto de la observación donde nace la Ley de Titius-Bode, a veces denominada solo Ley de Bode, es una hipótesis que relaciona la distancia de un planeta al sol, con el número de orden del planeta, mediante una regla simple. Matemáticamente, se trata de una sucesión que facilita la distancia de un planeta al sol. Tanto las leyes científicas como las teorías están apoyadas por un largo cuerpo de información empírica. Ambas ayudan a unificar un campo particular d un estudio científico y ambas son ampliamente aceptadas por la mayoría de los científicos de una disciplina dada. Por ejemplo la Ley de Bode, se descubrió en 1766 por Johann Daniel Titius y se la atribuyo en 1772 el director del observatorio de Berlín, Johann Elbert Bode; de ahí el nombre. Sin embargo, algunos dicen que el primero en proponerla fue Christian Wolff en 1724, además el descubrimiento de Urano por William Herschel en 1781, que estaba a 19,12 UA, no hizo más que confirmar la ley publicada solo tres años antes y llevó a que en el quinto lugar del sistema se determinara que hay debería estar otro planeta. En el Congreso Astronómico que tuvo lugar en Gotha, Alemania, en 1796, el francés Joseph Lalande recomendó su búsqueda. Entre cinco astrónomos se repartió el zodiaco en la búsqueda del quinto planeta y finalmente el 1 de enero de 1801, en el observatorio de Palermo el monje Giuseppe Piazzi, que no pertenecía a la comisión de búsqueda, descubrió Ceres, el primero de los asteroides del cinturón. Mientras una teoría científica puede convertirse en una ley científica esto no ocurre muy seguido, pero en el caso de la Ley de Titius-Bode se ha podido constatar que en realidad es aplicable, aunque tiene sus “no aciertos” si le podemos llamar así, ya que en el caso de los planetas Neptuno y Pluton la ley tiene variaciones. La Ley de Bode, aun pudiendo ser solo curiosidad matemática, tuvo una gran importancia en el desarrollo de la Astronomía de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX. Sin embargo actualmente algunos científicos solo la ven como un recurso matemático y no como cálculo astronómico exacto. Si bien las leyes científicas son universalmente aceptadas por los científicos, están hechas para ser cuestionadas y desafiadas, no son pruebas irrefutables, ni están hechas para ser creídas sin duda alguna, como si fueran dogmas. La mejor ciencia ha surgido siempre de cuestionar el conocimiento aceptado, como por ejemplo el caso de Albert Einstein, que cuestiono las leyes de la mecánica de Newton, algo impensable en la época. Igualmente, es muy raro que una ley pueda ser refutada, ya que ha llegado a ser ley porque justamente se han anulado todas las posibilidades de refutación conocidas, pero claro, siempre puede haber nuevos descubrimientos que aporten esa posibilidad que siempre debe existir dentro de la ciencia. Es importante conocer bien las leyes científicas con las cuales se trabaja o trata ya que si hoy contamos con ese conocimiento, tenemos que valorarlo, porque si no fuera por la observación y tenacidad de los descubridores y desarrolladores de esas leyes y teorías no tendríamos las bases para hacer nuestro trabajo, además está en nuestras manos la correcta difusión de las mismas para que futuras generaciones tengan estas mismas herramientas para su conocimiento, comprobación y claro su cuestionamiento todo esto para tener mejor conocimiento.

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